【中学受験算数】場合の数・正三角形面積比- 新大阪のSPI数学塾

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中学受験の算数で頻出する「場合の数（硬貨の組み合わせ）」と「平面図形（相似と面積比）」の2大テーマについて、分かりやすく解説した解説動画を公開しました。

今回は、動画内で解説している2つの良問のポイントをコンパクトにまとめてご紹介します。

動画のフルバージョンはこちらからご視聴いただけます：

📌【問題1】場合の数：硬貨の組み合わせで作れる金額

【問題概要】

財布の中に、1円玉、5円玉、10円玉、50円玉がそれぞれ2枚ずつあります。

これらを使って「ちょうど支払うことができる金額」は全部で何通りありますか？（ただし、0円は除きます）

単純にすべての組み合わせ（3×3×3×3＝81通り）と考えてしまうと、同じ金額を二重に数えてしまいます。

解法の鍵は、「金額が重複する硬貨」と「重複しない硬貨」を分けて考えることです [01:22]。

1円玉（2枚）: 0円、1円、2円の3通り（他と重複しません）。
50円玉（2枚）: 0円、50円、100円の3通り（他と重複しません）。
5円玉（2枚）と10円玉（2枚）:5円玉2枚（10円）と10円玉1枚（10円）のように金額が重なります。この2種類で作れる金額を調べると、0円、5円、10円、15円、20円、25円、30円の7通りになります。

【問題概要】

大きな正三角形ABCの面積が 80 cm² のとき、図の内部にある小さな正三角形DEFの面積を求めなさい。

正三角形同士はすべて「相似」の関係にあります。

辺の長さの比（相似比）が分かれば、面積比を導き出すことができます。

円の性質・対称性を利用する:円の中心から接点へ引いた線は垂直に交わる性質を利用し、内部にできる三角形の角度を整理します。
直角三角形の辺の比:角度を調べると「30°-60°-90°」の特別な直角三角形が現れます。斜辺と底辺の長さの比から、小さい正三角形と大きい正三角形の対応する辺の比が 1 : 2 であることが分かります。
面積比の計算:相似比が 1 : 2 のとき、面積比は 1×1 : 2×2 = 1 : 4 になります。

大きな正三角形（4の割合）の面積が 80 cm² なので、小さな正三角形（1の割合）の面積は以下のように求められます。

80 ÷ 4 = 20

黒板・手元での図解を交えた詳しい考え方の手順は、ぜひ動画本編でご確認ください。