こんにちは。大阪の看護予備校‐SPI数学塾の吉田です。
新大阪駅から徒歩5分の事務所、大阪駅・梅田駅周辺等のカフェへの出張授業、オンライン授業も可能。
看護受験の数学・英語・現代文・小論文・志望動機書の書き方・面接・SPI等の授業をしています。
今回は大和大学保健医療学部看護学科・学校推薦で出題された数学の問題ですが、数学Ⅰを学ぶ学生の分岐点となる「絶対値が複数ある方程式」です。
「複数」というのがミソで、1つだけであれば何とか解くのですが、これが2つ・3つと複数になってくると、場合分けが複雑になることもあって、苦手になる方が多いのです。
「絶対値が複数ある方程式」の場合分けで、高校生なら理系断念をしたり、数学を受験科目から外したりする受験生がいたりします。
モノにすれば、むしろ得意にできる単元なのですが、確かに初見では馴染めないかも知れませんが。
絶対値が3つも出てくると一見複雑そうに見えますが、**「絶対値の中身が 0 になる場所」**を境目にして、丁寧に「場合分け」をすれば確実に解くことができます。
この方程式 |3x-13|=|x-5|+|x+1| を一緒に紐解いていきましょう。
1. 境目（クリティカルポイント）を見つける
まず、それぞれの絶対値記号の中身が 0 になる x の値を求めます。これが「場合分け」の境界線になります。
- 3x – 13 = 0 x = 13/3＝4.33 (/は分数の上下の数字の間にある線です)
- x – 5 = 0 x = 5
- x + 1 = 0 x = -1
この3つの値により、数直線は以下の4つの範囲に分けられます。
- x < -1
- -1 ≦ x <13/3
- 13/3≦x < 5
- x ≧ 5
2. 各範囲で方程式を解く
① x < -1 のとき
この範囲では、すべての絶対値の中身が負になります(中身の式の前にマイナスが付きます）。
|3x-13| → -(3x-13), |x-5| = -(x-5), |x+1| = -(x+1)となるので、方程式は：
-3x + 13 = (-x + 5) + (-x – 1)
-3x + 13 = -2x + 4
-x = -9 → x = 9
判定: 条件 x < -1 に x = 9 は適さないので、この範囲に解はありません。
② -1 ≦ x < 13/3のとき
x+1 だけが 0 以上になり、他は負のままです。
-3x + 13 = (-x + 5) + (x + 1)
-3x + 13 = 6
-3x = -7 → x = 7/3
判定: 7/3 ≒2.33 です。条件 -1≦7/3 < 4.33 を満たすので、x = 7/3 は解です。
③ 13/3≦ x < 5 のとき
3x-13 と x+1 が 0 以上になり、x-5 だけが負です。
(3x – 13) = (-x + 5) + (x + 1)
3x – 13 = 6
3x = 19 → x = 19/3
判定: 19/3≒6.33 です。条件 4.33 ≦ x < 5に x = 19/3は適さないので、この範囲に解はありません。
④ x ≧ 5 のとき
すべての絶対値の中身が $0$ 以上になります。
(3x – 13) = (x – 5) + (x + 1)
3x – 13 = 2x – 4
x = 9
判定: 条件 x≧ 5 に x = 9は適しているので、これも解となります。
3. 結論
以上の結果をまとめると、求める解は以下の通りです。
x = 7/3, 9
💡 解説のポイント
絶対値が複数ある問題は、**「今考えている範囲で、絶対値の中身がプラスかマイナスか」**だけを機械的に判断して外していくのがコツです。
今回の問題で言えば、各範囲の代表的な数字（例えば x=0 や x=10 など）を頭の中で代入してみると、符号のミスを防ぎやすくなりますよ。大学入試でもよく出るパターンなので、この「場合分けの儀式」に慣れておくと強い武器になります！
コメント